不变量是在每次合法操作中都保持不变的量或性质。单调量可以变化，但只能沿一个方向变化。它们都能把对庞大操作序列的搜索，转化成一个关于“任意序列都无法做到什么”的简短陈述。

从操作出发，而不是从目标出发

当题目询问某个状态能否到达另一个状态时，不要立即开始模拟。先写清楚一次合法操作究竟改变了什么：

1. 哪些对象被创建或移除？
2. 哪些位置改变了颜色、奇偶性或朝向？
3. 是否存在自然的加权和？
4. 这个操作能否表示为某个小模数下的加法？

残缺棋盘使用两种颜色的数量。康威的士兵使用一个无限加权和。表面细节完全不同，证明模式却是一样的。

一个小型代数模型

设状态是向量 $x$，每次合法操作都会加上 $m_1,\dots ,m_k$ 中的某一个向量。如果向量 $w$ 满足

$$w\cdot m_i=0\text{对所有合法操作 }{m}_i,$$

那么 $w\cdot x$ 在任意可达路径中都保持不变。很多染色证明只是这个思想的另一种外表。

实用检查表

特征	候选工具
棋子覆盖相邻格子	染色或奇偶性
跳跃会消耗和产生棋子	加权和
操作会旋转或交换对象	置换的奇偶性
某个量似乎持续漂移	单调量或势能函数

一个好的不变量不会告诉你如何获胜。它会解释，为什么整个尝试获胜的宇宙都不可能。

真正需要创造力的一步，是选择一种能让操作变得简单的表示。