“除以对称的数量”是组合数学中最诱人的快捷方法之一。只有在所有对象的轨道大小都相同时，它才是正确的。

警告信号

如果某些配置比其他配置看起来更对称，它们的稳定子群就不同。普通项链可能有 $n$ 种不同旋转，而重复模式的项链只有更少的不同旋转。直接用原始数量除以 $n$，等于错误地假设它们的轨道一样大。

Burnside 引理用平均取代了这个假设：

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|\mathrm{Fix}(g)|.$$

不直接计数轨道，而是对每个对称操作，计数有多少配置在它之下保持不变。

为什么这个平均是精确的

用两种方式计数满足 $g$ 固定 $x$ 的数对 $(g,x)$。按群元素求和得到上式的分子；按对象求和则得到所有稳定子群大小之和。再由轨道—稳定子群定理，每个轨道恰好贡献 $|G|$。

这是一个常见模式：当直接相除失败时，寻找一个双重计数，让局部的不规则在平均中抵消。