令 $\phi$ 为黄金比例：$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$
值得注意的是，可以将每个正整数写为 $\phi$ 的幂的和，即使我们要求 $\phi$ 的每个幂在这个和中最多使用一次。
即使这样，这种表示也不是唯一的。
我们可以通过要求不使用具有连续指数的幂并且表示是有限的来使其唯一。
例如： $2=\phi +{\phi }^{-2}$ 和 $3={\phi }^2+{\phi }^{-2}$

为了表示 $\phi$ 的幂总和，我们使用由 0 和 1 组成的字符串，并用一个点来指示负指数的起始位置。
我们将其称为数字数库中的表示。
因此 $1=1_{\phi }$、$2={10.01}_{\phi }$、$3={100.01}_{\phi }$ 和 $14={100100.001001}_{\phi }$。
表示数字基数中的$1$、$2$和$14$的字符串是回文，而表示$3$的字符串不是回文。
（数字点不是中间字符）。

数字表示为回文的不超过 $1000$ 的正整数之和为 $4345$。

求数字表示为回文的不超过 ${10}^{10}$ 的正整数之和。