经典的八皇后难题是众所周知的问题，即将八个国际象棋皇后放置在 $8\times 8$ 棋盘上，这样两个皇后就不会互相威胁。允许配置以旋转或镜像形式重新出现，总共可以为八个皇后找到 $92$ 不同的配置。一般情况要求在 $n\times n$ 板上放置 $n$ 皇后的不同方式的数量，例如您可以找到 $2$ 与 $n=4$ 不同的配置。

让我们将 $n\times n$ 板上的弱皇后定义为一个棋子，如果水平移动，它可以移动任意数量的方格，但如果垂直或对角移动，则最多可以移动 $n-1-w$ 方格，$0\le w<n$ 是"弱因子"。例如，$n\times n$ 棋盘上的弱皇后（弱点因子为 $w=1$ 位于底行）将无法威胁顶行中的任何方格，因为弱皇后需要垂直或对角移动 $n-1$ 方格才能到达那里，但只能在这些方向移动 $n-2$ 方格。相比之下，弱皇后在水平方向上没有障碍，因此可以威胁到其所在行中的每个方格，而与它在该行中的当前位置无关。

设 $Q(n,w)$ 为具有弱点因子 $w$ 的 $n$ 弱皇后可以放置在 $n\times n$ 板上的方式数，这样就不会出现两个皇后互相威胁的情况。例如，可以显示 $Q(4,0)=2$、$Q(4,2)=16$ 和 $Q(4,3)=256$。

让$S(n)={\displaystyle \sum _{w=0}^{n-1}Q(n,w)}$。

您已获得 $S(4)=276$ 和 $S(5)=3347$。

查找 $S(14)$。