给定一个无理数 $\alpha$，令 $S_{\alpha }(n)$ 为 $n\ge 1$ 的序列 $S_{\alpha }(n)=\lfloor \alpha \cdot n\rfloor -\lfloor \alpha \cdot (n-1)\rfloor$。
（$\lfloor \cdots \rfloor$ 是下限函数。）

可以证明，对于任何无理数$\alpha$，存在无穷多个$n$的值，使得子序列$\{S_{\alpha }(1),S_{\alpha }(2)...S_{\alpha }(n)\}$是回文序列。

$n$ 的前 $20$ 值给出 $\alpha =\sqrt{31}$ 的回文子序列： $1$、$3$、$5$、$7$、$44$、$81$、$118$、$273$、$3158$、$9201$、$15244$、$21287$、$133765$、$246243$、$358721$、$829920$、$9600319$、 $27971037$、$46341755$、$64712473$。

设 $H_g(\alpha )$ 为 $n$ 的前 $g$ 值的总和，对应的子序列是回文序列。
所以 $H_{20}(\sqrt{31})=150243655$。

令 $T=\{2,3,5,6,7,8,10,\dots ,1000\}$ 为正整数集合，不超过 $1000$，不包括完全平方数。
计算 T$\beta \in T$\beta \的 $H_{100}(\sqrt{\beta })$ 之和。给出答案的最后 $15$ 数字。