某种类型的柔性瓷砖有三种不同的尺寸 - $1\times 1$、$1\times 2$ 和 $1\times 3$ - 以及 $k$ 种不同的颜色。每种尺寸和颜色的组合都有无限数量的瓷砖可供选择。

这些用于平铺宽度为 $2$ 和长度（周长）$n$ 的闭环，其中 $n$ 是正整数，但需满足以下条件：

• 环路必须被不重叠的图块完全覆盖。
• 不允许四个瓷砖的角在一个点相交。
• 相邻图块的颜色必须不同。

例如，以下是 $2\times 23$ 循环的可接受平铺，其中 $k=4$（蓝色、绿色、红色和黄色）：

但以下不是可接受的平铺，因为它违反了"四个角不能在一点相交"的规则：

令 $F_k(n)$ 为当 $k$ 颜色可用时，根据这些规则可以平铺 $2\times n$ 循环的方式数。 （并非必须使用所有 $k$ 颜色。）如果水平或垂直反射会产生不同的平铺，则这些平铺应单独计数。

例如，$F_4(3)=104$、$F_5(7)=3327300$ 和 $F_6(101)\equiv 75309980(\mathrm{mod}1000004321)$。

求 $F_{10}(10004003002001)mod1000004321$。