10 以下的自然数中，3 或 5 的倍数是 $3,5,6,9$，它们的和是 $23$。

求 1000 以下所有 3 或 5 的倍数之和。

2×3×5×7

普通循环当然可以完成。更有趣的问法是：如何完全去掉循环？

提示

每次打开一个

分别计算 3 的倍数和 5 的倍数之和。

修正被重复计数的项。

解答

认真尝试后再打开

等差数列与容斥原理

$N$ 以下所有 $k$ 的正倍数之和为

$$k\frac{m(m+1)}{2},m=\lfloor \frac{N-1}{k}\rfloor .$$

加上 3 的倍数和 5 的倍数，再减去被重复计算的 15 的倍数：

$$3\frac{333\cdot 334}{2}+5\frac{199\cdot 200}{2}-15\frac{66\cdot 67}{2}=\boxed{{\displaystyle 233168}}.$$

这道小题带来一个耐用习惯：在直接相加计数或求和之前，先明确地找出重叠部分。