从标准 $8\times 8$ 国际象棋棋盘上去掉两个对角格。剩下的棋盘有 62 个格子。

你还有 31 块多米诺骨牌，每块恰好覆盖两个正交相邻的格子。

面积完全匹配：$31\times 2=62$。

能否用这些骨牌无重叠、无空缺地铺满残缺棋盘？

提示

每次打开一个

像普通国际象棋棋盘一样黑白染色。

数一数剩下的两种颜色各有多少格。

解答

认真尝试后再打开

颜色就是不变量

国际象棋棋盘的两个对角颜色相同。移除它们以后，棋盘上一种颜色剩 30 格，另一种剩 32 格。

每块正交放置的多米诺骨牌都覆盖一个黑格和一个白格。因此，31 块骨牌必须恰好覆盖 31 个黑格和 31 个白格。

但残缺棋盘的两种颜色是 $30/32$ 分布，所以铺满是不可能的。

面积相等是必要条件，却不是充分条件。染色暴露了每块合法骨牌都必须保持的约束。