费马大定理的近似解

从欧拉开始，我们知道丢番图方程 $x^3+y^3=z^3$ 无解。

然而，拉马努金找到了方程 $x^3+y^3=z^3\pm 1$ 的无限组解

这是他令人惊叹的解决方案。让：
$X_1=[9,10,12]$
$X_2=[791,812,1010]$
$X_3=[65601,67402,83802]$

并定义$X_{n+3}=82\times X_{n+2}+82\times X_{n+1}-X_n$

让$x_n=X_n[1],y_n=X_n[2],z_n=X_n[3]$

我们有$x_n^3+y_n^3=z_n^3+(-1{)}^{n+1}$

例如，$X_4=[5444135,5593538,6954572]\text{ and indeed }{5444135}^3+{5593538}^3={6954572}^3-1$

查找索引 $123456789101112$ 的解决方案

答案格式： $x,y,z\text{ modulo }{10}^{15}$

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