类 Machin 公式

最著名的计算 $\pi$ 的公式之一是
$\frac{\pi }{4}=4.\arctan (\frac{1}{5})-\arctan (\frac{1}{239})$ 归功于 John Machin (1706)，他使用它来计算 100 小数位。

我们可以将其重写为：
$\arctan (1/239)=-\arctan (1/1)+4.\arctan (1/5)$

事实证明，许多像 239 这样的整数都有一个逆元，它可以分解为逆元的反正切的线性组合。

举几个例子：
$\arctan (\frac{1}{3})=\arctan (1)-\arctan (\frac{1}{2})$
$\arctan (\frac{1}{7})=-\arctan (1)+2.\arctan (\frac{1}{2})$
$\arctan (\frac{1}{8})=\arctan (1)-\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (1/5)$
$\arctan (\frac{1}{13})=\arctan (1)-\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (1/4)$
$\arctan (\frac{1}{17})=-\arctan (1)+2.\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (1/12)$
$\arctan (\frac{1}{18})=\arctan (1)-2.\arctan (\frac{1}{2})+\arctan (1/5)$
$\arctan (\frac{1}{21})=\arctan (1/4)-\arctan (1/5)$
$\arctan (\frac{1}{30})=\arctan (1)-\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (1/4)-\arctan (1/23)$
$\arctan (\frac{1}{31})=\arctan (1/5)-\arctan (1/6)$
$\arctan (\frac{1}{32})=-\arctan (1)+2.\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (1/9)$

不可约数，即那些不能以这种方式分解的数，称为 Störmer 数。
因此，每个非 Störmer 数的倒数都可以表示为较小不可约整数的倒数的反正切的线性组合。

约翰·马钦的公式之所以特别有效，是因为它包含的项很少，而且涉及的数字也不太小：因此 Arctan 级数的收敛速度相当快。

让我们将公式的成本定义为不带 1 的不同整数的倒数之和。
$C(32)=\frac{1}{2}+\frac{1}{9}+\frac{1}{32}=0.642361$

像 21 或 31 这样的数字不适合计算 $\pi$，因为它们的分解中不包括数字 1，它们的成本将是无穷大。

10 比 20000 效率最高的数字是多少？

答案格式：以逗号分隔的成本升序列表。

示例：41,46,75,17,32,7,68,93,43,57（适用于小于 100 的数字）

$C(41)=0.6077235772\to \arctan (\frac{1}{41})=\arctan (1)-2.\arctan (\frac{1}{2})+2.\arctan (\frac{1}{12})$
$C(46)=0.6421095008\to \arctan (\frac{1}{46})=-\arctan (1)+2.\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (\frac{1}{12})-\arctan (\frac{1}{27})$
$C(75)=0.6421212121\to \arctan (\frac{1}{75})=-\arctan (1)+2.\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (\frac{1}{12})-\arctan (\frac{1}{22})$
$C(17)=0.6421568627\to \arctan (\frac{1}{17})=-\arctan (1)+2.\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (\frac{1}{12})$
$C(32)=0.6423611111\to \arctan (\frac{1}{32})=-\arctan (1)+2.\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (\frac{1}{9})$
$C(7)=0.6428571429\to \arctan (\frac{1}{7})=-\arctan (1)+2.\arctan (\frac{1}{2})$
$C(68)=0.6813725490\to \arctan (\frac{1}{68})=2.\arctan (1)-3.\arctan (\frac{1}{2})-\arctan (\frac{1}{6})$
$C(93)=0.6899193548\to \arctan (\frac{1}{93})=\arctan (1)-2.\arctan (\frac{1}{2})+\arctan (\frac{1}{6})-\arctan (\frac{1}{80})$
$C(43)=0.6899224806\to \arctan (\frac{1}{43})=\arctan (1)-2.\arctan (\frac{1}{2})+\arctan (\frac{1}{6})$ $C(57)=0.7175438596\to \arctan (\frac{1}{57})=-2.\arctan (1)+3.\arctan (\frac{1}{2})+\arctan (\frac{1}{5})$

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