该问题包含三个子问题和一个元问题。输入元问题的答案作为最终答案。

<小时>

子问题：Max And

数字$1$到$n$被分为两组$A$和$B$。设 $I(n)$ 为 $$\sum _{a\in A}\sum _{b\in B}a\wedge b$$ 的最大可能值 其中 $\wedge$ 是按位 AND 运算符。

可以验证 $I(10)=50$，例如 $A=\{1,4,7,10\}$ 和 $B=\{2,3,5,6,8,9\}$，尽管还有许多其他解决方案。

求 $I(1000)$。

<小时>

子问题：最大异或和

对于两个整数 $x,y$，将 $x^2$ 和 $y^2$ 的按位异或写为 $[x,y]$。

有限整数序列 $a_0,a_1,\dots ,a_r$ 满足以下属性：

• $1\le a_i\le N$ 对于所有 $0\le i\le r$；
• $[a_{i-1},a_i]<[a_i,a_{i+1}]$ 对于所有 $0<i<r$。

令 $X(N)$ 为总和 $\sum _{i=1}^r[a_{i-1},a_i]$ 的最大可能值。

例如，$X(4)=71$ 可以通过序列 $2,1,3,2,4,3$ 来实现。还有 $X(10)=702$。

求 $X(1000)$。

<小时>

子问题：无法访问 Nim

两名玩家正在玩三堆 Nim 游戏。游戏状态是一个有序的三元组$(a,b,c)$，代表每堆石子的数量。

玩家总是会做出获胜的举动（如果至少有的话）；否则，可以进行任何有效的移动，除非没有剩下有效的移动，此时游戏结束。

如果游戏状态在游戏过程中从未出现，则称为无法到达，除非它处于初始位置。例如，游戏状态$(1,1,1)$不可达。

令 $C(N)$ 为 $0\le a,b,c<N$ 的不可达状态数。 您将获得 $C(10)=123$。

求 $C(1000)$。

<小时>

元问题：

序列 $M$ 定义为

• $M(0)=I(1000)$;
• $M(1)=X(1000)$;
• $M(2)=C(1000)$;
• $M(k)=M(k-1)M(k-2)M(k-3)$ for $k\ge 3$。

您将获得 $M(4)\equiv 457587170(\mathrm{mod}{10}^9+7)$。

求 $M(1000)mod({10}^9+7)$。

提示：我们可以假设 $M(4)$ 的给定值是正确的。