给定一个正整数 $n$，考虑以下过程：

1. 将 $n$ 颗棋子放置在实线上的 $0$ 位置，并初始化 $i=0$。
2. 如果位置$i$处有$m$颗棋子，则将$\lfloor \frac{m}{2}\rfloor$棋子从位置$i$移动到位置$i+1$，并将另外$\lfloor \frac{m}{2}\rfloor$棋子从位置$i$移动到$i+3$。
3. 增加 $i:=i+1$ 并返回步骤 2。

对于 $n$ 的某些值，此过程终止；对于其他人来说，它会无限期地持续下去。无论哪种情况，在每个位置 $i$ 处都会留下一组有限的单子石子，其中 $m$ 为奇数。如果一个单例与任何其他单例的距离至少为 $3$，则该单例是孤独的。如果留下的所有单个石子都是孤独的，我们称正整数 $n$ sad 。

第一个悲伤的整数是 $1$，很简单。第二个是 $68$，它在位置 $2,5,8,13$ 处留下了单例。第三个是 $90$，仅在位置 $1$ 和 $13$ 处留下两个单例。

将 $S(k)$ 定义为所有悲伤整数 $n$ 的总和，仅在位置 $0\le i<k$。例如 $S(14)=159$ 和 $S(30)=33438$。

找到$S(80)$。