考虑无限多项式级数 $A_F(x)=x{F}_1+x^2{F}_2+x^3{F}_3+\dots$，其中 $F_k$ 是斐波那契数列中的第 $k$ 项：$1,1,2,3,5,8,\dots$；即$F_k=F_{k-1}+F_{k-2}$、$F_1=1$和$F_2=1$。

对于这个问题，我们应该对 $x$ 的值感兴趣，其中 $A_F(x)$ 是一个正整数。

令人惊讶	$\begin{array}{rl}{A}_F(\frac{1}{2})& =(\frac{1}{2})\times 1+(\frac{1}{2}{)}^2\times 1+(\frac{1}{2}{)}^3\times 2+(\frac{1}{2}{)}^4\times 3+(\frac{1}{2}{)}^5\times 5+\cdots \\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{5}{32}+\cdots \\ & =2\end{array}$

$x$ 前五个自然数对应的值如下所示。

$x$	$A_F(x)$
$\sqrt{2}-1$	$1$
$\frac{1}{2}$	$2$
$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$	$3$
$\frac{\sqrt{89}-5}{8}$	$4$
$\frac{\sqrt{34}-3}{5}$	$5$

如果 $x$ 是理性的，我们将称 $A_F(x)$ 为金块，因为它们变得越来越稀有；例如，$10$第一个金块是$74049690$。

找到 $15$th 金块。