设 $ABC$ 是一个所有内角都小于 $120$ 度的三角形。令 $X$ 为三角形内的任意点，并令 $XA=p$、$XC=q$ 和 $XB=r$。

费马向托里拆利提出挑战，要求他找到 $X$ 的位置，使得 $p+q+r$ 最小。

托里拆利能够证明，如果在三角形$ABC$的每条边上构造等边三角形$AOB$、$BNC$和$AMC$，则$AOB$、$BNC$和$AMC$的外接圆将在三角形内部的一点$T$处相交。此外，他证明了称为托里切利/费马点的 $T$ 可以最小化 $p+q+r$。更值得注意的是，可以证明，当总和最小时，$AN=BM=CO=p+q+r$，并且 $AN$、$BM$ 和 $CO$ 也在 $T$ 处相交。

如果总和最小化并且 $a,b,c,p,q$ 和 $r$ 都是正整数，我们将称三角形 $ABC$ 为托里切利三角形。例如，$a=399$、$b=455$、$c=511$ 是托里拆利三角形的示例，其中 $p+q+r=784$。

求托里切利三角形的 $p+q+r\le 120000$ 的所有不同值的总和。