从零开始，自然数以 $10$ 为基数写下，如下所示：
$$0123456789101112\cdots$$

考虑数字$d=1$。当我们记下每个数字 $n$ 后，我们将更新已经发生的数字，并将这个数字称为 $f(n,1)$。 $f(n,1)$ 的第一个值如下：

$$\begin{array}{cc}n& f(n,1)\\ 0& 0\\ 1& 1\\ 2& 1\\ 3& 1\\ 4& 1\\ 5& 1\\ 6& 1\\ 7& 1\\ 8& 1\\ 9& 1\\ 10& 2\\ 11& 4\\ 12& 5\end{array}$$

请注意，$f(n,1)$ 永远不等于 $3$。
因此方程 $f(n,1)=n$ 的前两个解是 $n=0$ 和 $n=1$。下一个解决方案是 $n=199981$。

以同样的方式，函数 $f(n,d)$ 给出在写入数字 $n$ 后已写入的位数 $d$ 的总数。
事实上，对于每个数字 $d\ne 0$，$0$ 是方程 $f(n,d)=n$ 的第一个解。

令 $s(d)$ 为 $f(n,d)=n$ 的所有解的总和。
已知 $s(1)=22786974071$。

求 $\sum s(d)$ 为 $1\le d\le 9$。

注意：如果对于某些 $n$，$f(n,d)=n$ 对于多个 $d$ 值，则对于 $f(n,d)=n$ 的每个 $d$ 值，都会再次计算 $n$ 的值。