考虑以原点为中心、半径为 $r$ 的圆内部具有整数坐标的点 $(x,y)$ 的集合 $I_r$，即 $x^2+y^2<r^2$。

对于半径为 $2$ 的情况，$I_2$ 包含九个点 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$、$(-1,1)$、$(-1,0)$、$(-1,-1)$、$(0,-1)$ 和 $(1,-1)$。有八个三角形，所有三个顶点都在 $I_2$ 中，原点位于内部。其中两个如下所示，其他是通过旋转获得的。

对于半径为 $3$ 的情况，有 $360$ 个三角形，其中原点位于内部且所有顶点都在 $I_3$ 中，对于 $I_5$，数量为 $10600$。

有多少个三角形内部包含原点且所有三个顶点都在 $I_{105}$ 中？