对于任意两个数字字符串 $A$ 和 $B$，我们将 $F_{A,B}$ 定义为序列 $(A,B,AB,BAB,ABBAB,\dots )$，其中每一项都是前两项的串联。

此外，我们将 $D_{A,B}(n)$ 定义为 $F_{A,B}$ 第一项中的第 $n$ 个数字，其中至少包含 $n$ 个数字。

示例：

设$A=1415926535$，$B=8979323846$。比如说，我们希望找到 $D_{A,B}(35)$。

$F_{A,B}$ 的前几项是：
$1415926535$
$8979323846$
$14159265358979323846$
$897932384614159265358979323846$
$1415926535897932384689793238461415\mathbf{9}265358979323846$

那么 $D_{A,B}(35)$ 就是第五项中的第 $35$ 位数字，即 $9$。

现在我们将 $\pi$ 小数点后面的前 $100$ 位用作 $A$：

$14159265358979323846264338327950288419716939937510$
$58209749445923078164062862089986280348253421170679$

$B$ 接下来的一百位数字：

$82148086513282306647093844609550582231725359408128$
$48111745028410270193852110555964462294895493038196$。

求 $\sum _{n=0}^{17}{10}^n\times D_{A,B}((127+19n)\times 7^n)$。