一个小孩有一条"数字毛毛虫"，由四十块拼图组成，每块拼图上都有一个数字，当它们连成一条线时，就会按顺序显示数字 $1$ 到 $40$。

每天晚上，孩子的父亲都必须捡起散落在游戏室的毛毛虫碎片。他随机拾起碎片并按正确的顺序放置它们。
由于毛毛虫以这种方式构建，它会形成逐渐融合在一起的不同片段。
片段的数量从零开始（没有放置碎片），通常增加到大约十一或十二，然后在完成单个片段（所有碎片都放置）之前再次下降。

例如：

放置的棋子	到目前为止的分段
12	1
4	2
29	3
6	4
34	5
5	4
35	4
...	...

令 $M$ 为毛毛虫随机整理过程中遇到的最大段数。
对于十块毛毛虫，每 $M$ 的可能性数量为

M	可能性
1	512
2	250912
3	1815264
4	1418112
5	144000

因此 $M$ 最可能的值为 $3$，平均值为 $385643/113400=3.400732$，四舍五入到小数点后六位。

对于 40 条毛毛虫来说，$M$ 的最可能值为 $11$；但是 $M$ 的平均值是多少？

将您的答案四舍五入到小数点后六位。