角平分线 · 谜题库

给定一个整数边三角形 $A B C$ ，边为 $a \leq b \leq c$ 。（ $A B = c$ 、 $B C = a$ 和 $A C = b$ 。）
三角形的角平分线与边相交于点 $E$ 、 $F$ 和 $G$ （见下图）。

线段 $E F$ 、 $E G$ 和 $F G$ 将三角形 $A B C$ 分成四个较小的三角形： $A E G$ 、 $B F E$ 、 $C G F$ 和 $E F G$ 。
可以证明，对于这四个三角形中的每一个，面积（ $A B C$ ）/面积（子三角形）的比率都是有理数。
然而，存在一些三角形，其中部分或全部这些比率是整数。

有多少个周长为 $\leq 100 000 000$ 的三角形 $A B C$ 使得面积 ( $A B C$ )/面积( $A E G$ ) 的比率是整数？

题解待补充

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