选择四个具有整数坐标的点：
$A(a,0)$、$B(b,0)$、$C(0,c)$ 和 $D(0,d)$，其中 $0<a<b$ 和 $0<c<d$。
在 $AC$ 线上选择点 $P$（同样具有整数坐标），以便三个三角形 $ABP$、$CDP$ 和 $BDP$ 都相似具有相等的角度。

很容易证明这三个三角形可以相似，只要$a=c$。

因此，鉴于 $a=c$，我们正在寻找三元组 $(a,b,d)$，使得 $AC$ 上至少存在一个点 $P$（具有整数坐标），从而使三个三角形 $ABP$、$CDP$ 和 $BDP$ 都相似。

例如，如果$(a,b,d)=(2,3,4)$，则可以很容易验证点$P(1,1)$满足上述条件。 请注意，三元组 $(2,3,4)$ 和 $(2,4,3)$ 被视为不同的，尽管点 $P(1,1)$ 对于两者来说是共同的。

如果 $b+d<100$，则有 $92$ 个不同的三元组 $(a,b,d)$，使得点 $P$ 存在。
如果 $b+d<100000$，则有 $320471$ 个不同的三元组 $(a,b,d)$，使得点 $P$ 存在。

如果 $b+d<100000000$，有多少个不同的三元组 $(a,b,d)$ 使得点 $P$ 存在？