以一种非常简化的形式，我们可以将蛋白质视为由疏水性 (H) 和极性 (P) 元素组成的字符串，例如哈哈哈哈哈哈哈。
对于这个问题，蛋白质的方向很重要。例如HPP 被认为与 PPH 不同。因此，有 $2^n$ 个不同的蛋白质由 $n$ 个元素组成。

当人们在自然界中遇到这些弦时，它们总是以 H-H 接触点的数量尽可能多的方式折叠，因为这在能量上是有利的。
因此，H 元素倾向于积聚在内部，而 P 元素则积聚在外部。
天然蛋白质当然会在三个维度上折叠，但我们只会考虑二维上的蛋白质折叠。

下图显示了示例蛋白质折叠的两种可能方式（H-H 接触点用红点显示）。

左边的折叠只有六个H-H接触点，因此永远不会自然发生。
另一方面，右侧的折叠有九个 H-H 接触点，这对于该弦来说是最佳的。

假设 H 和 P 元素出现在字符串中任何位置的可能性相同，则长度为 $8$ 的随机蛋白质字符串的最佳折叠中 H-H 接触点的平均数量为 $850/2^8=3.3203125$。

长度为 $15$ 的随机蛋白质串的最佳折叠中 H-H 接触点的平均数量是多少？
给出答案时使用尽可能多的小数位以获得准确的结果。