考虑实数 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
当我们计算 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 的偶次幂时 我们得到：
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=9.898979485566356\cdots$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^4=97.98979485566356\cdots$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^6=969.998969071069263\cdots$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^8=9601.99989585502907\cdots$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^{10}=95049.999989479221\cdots$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^{12}=940897.9999989371855\cdots$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^{14}=9313929.99999989263\cdots$
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^{16}=92198401.99999998915\cdots$

看起来这些幂的小数部分开头的连续 9 的数量是不减少的。
事实上，可以证明，对于较大的$n$，$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^{2n}$ 的小数部分接近$1$。

考虑 $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ 形式的所有实数，其中 $p$ 和 $q$ 为正整数，并且 $p<q$，使得小数部分 对于较大的 $n$，$(\sqrt{p}+\sqrt{q}{)}^{2n}$ 的值接近 $1$。

令 $C(p,q,n)$ 为 $(\sqrt{p}+\sqrt{q}{)}^{2n}$ 小数部分开头的连续 9 个数。

令 $N(p,q)$ 为 $n$ 的最小值，使得 $C(p,q,n)\ge 2011$ 成立。

查找 ${\displaystyle \sum N(p,q)\text{ for }p+q\le 2011}$。