给出了一张矩形网格纸，其尺寸为整数$w\times h$。其网格间距为 $1$。
当我们沿着网格线将纸张切成两块并重新排列这些块而不重叠时，我们可以制作不同尺寸的新矩形。

例如，从尺寸为 $9\times 4$ 的纸张中，我们可以通过如下切割和重新排列来制作尺寸为 $18\times 2$、$12\times 3$ 和 $6\times 6$ 的矩形：

同样，从尺寸为 $9\times 8$ 的纸张中，我们可以制作尺寸为 $18\times 4$ 和 $12\times 6$ 的矩形。

对于一对 $w$ 和 $h$，令 $F(w,h)$ 为可以由尺寸为 $w\times h$ 的纸张制成的不同矩形的数量。
例如，$F(2,1)=0$、$F(2,2)=1$、$F(9,4)=3$ 和 $F(9,8)=2$。
请注意，与初始矩形全等的矩形不计入 $F(w,h)$ 中。
另请注意，尺寸为 $w\times h$ 和尺寸为 $h\times w$ 的矩形不被视为不同的。

对于整数 $N$，令 $G(N)$ 为满足 $0<h\le w\le N$ 的所有 $w$ 和 $h$ 对的 $F(w,h)$ 之和。
我们可以验证 $G(10)=55$、$G({10}^3)=971745$ 和 $G({10}^5)=9992617687$。

求$G({10}^{12})$。以 ${10}^8$ 为模给出你的答案。