对于平面上的任意三角形$T$，可以证明存在唯一一个面积最大的椭圆完全位于$T$内部。

对于给定的 $n$，考虑三角形 $T$，使得：
- $T$ 的顶点具有绝对值为 $\le n$ 的整数坐标，并且
- $T$ 内最大面积椭圆的焦点¹为 $(\sqrt{13},0)$ 和 $(-\sqrt{13},0)$。
令 $A(n)$ 为所有这些三角形的面积之和。

例如，如果 $n=8$，则有两个这样的三角形。它们的顶点为 $(-4,-3),(-4,3),(8,0)$ 和 $(4,3),(4,-3),(-8,0)$，每个三角形的面积为 $36$。因此 $A(8)=36+36=72$。

可以验证$A(10)=252$、$A(100)=34632$和$A(1000)=3529008$。

求$A(1000000000)$。

¹椭圆的焦点（focus的复数形式）是两个点$A$和$B$，这样对于椭圆边界上的每个点$P$，$AP+PB$是恒定的。