毕达哥拉斯树是通过以下过程生成的分形：

从单位正方形开始。然后，将其中一侧称为底面（在动画中，底面为底面）：

1. 将一个直角三角形连接到底边的对面，斜边与该边重合，且各边的比例为 $3\text{-}4\text{-}5$。请注意，三角形的较小边必须位于相对于底边的"右侧"（参见动画）。
2. 将一个正方形连接到直角三角形的每条边上，其中一条边与该边重合。
3. 对两个正方形重复此过程，将接触三角形的边视为它们的底。

经过无限次迭代后得到的图形就是毕达哥拉斯树。

可以证明，至少存在一个矩形，其边平行于毕达哥拉斯树的最大正方形，该矩形完全包围了毕达哥拉斯树。

找到这样一个边界矩形可能的最小面积，并将答案四舍五入到 $10$ 小数位。