正整数矩阵是元素全部为正整数的矩阵。
一些正整数矩阵可以用两种不同的方式表示为正整数矩阵的平方。这是一个例子：

$$\left(\begin{array}{cc}40& 12\\ 48& 40\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 12& 2\end{array}\right)}^2={\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 4& 6\end{array}\right)}^2$$

我们将 $F(N)$ 定义为 $2\times 2$ 正整数矩阵的数量，该矩阵的迹线主对角线上元素的总和小于 $N$，并且可以通过两种不同的方式表示为正整数矩阵的平方。
我们可以验证 $F(50)=7$ 和 $F(1000)=1019$。

求$F({10}^7)$。