一群 $p$ 人决定坐在圆桌旁玩彩票交易游戏。每个人一开始都会获得一张随机分配的、未刮开的彩票。每张彩票在刮开后都会显示整英镑的奖金，从 1 英镑到 $p$ 不等，没有两张彩票是相同的。游戏的目标是让所有玩家在离开游戏时最大化他们所持有的彩票的奖金。

任意人被选为第一位玩家。在桌子上，每个玩家只有两个选择之一：

1. 玩家可以选择刮开彩票并向牌桌上的每个人展示其价值。
2. 如果玩家的彩票未被刮开，则玩家可以将其与之前玩家的刮开彩票进行交易，然后带着该彩票离开游戏。然后，前一位玩家刮开新获得的彩票并向桌上的每个人展示它的价值。

所有门票都被刮完后，游戏结束。所有仍留在牌桌上的玩家必须携带当前持有的彩票离开。

假设玩家将使用最佳策略来最大化其彩票奖金的预期价值。

让 $E(p)$ 表示当游戏由 $p$ 玩家组成的游戏结束时，牌桌上剩余的预期玩家数量。
例如$E(111)=5.2912$ 四舍五入至 5 位有效数字。

让$S_1(N)=\sum _{p=1}^{N}E(p)$。
让 $S_k(N)=\sum _{p=1}^N{S}_{k-1}(p)$ 为 $k>1$。

找到 $S_{20}({10}^{14})$ 并用四舍五入到 10 位有效数字的科学记数法写出答案。使用小写 e 分隔尾数和指数。例如，$S_3(100)$ 的答案为 5.983679014e5。