Collatz 序列定义为： $a_{i+1}=\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{a_i}{2}}{3a_i+1}\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{if }{a}_i\text{ is even}}{\text{if }{a}_i\text{ is odd}}$。

Collatz 猜想指出，从任何正整数开始，序列最终达到循环 $1,4,2,1,\dots$。
我们将从 $a_1=n$ 开始的 Collatz 序列的序列前缀 $p(n)$ 定义为所有不是 $2$ 的幂的数字的子序列（对于此问题，$2^0=1$ 被认为是 $2$ 的幂）。例如：
$p(13)=\{13,40,20,10,5\}$
$p(8)=\{\}$
任何使猜想无效的数字都将具有无限长度的序列前缀。

令 $S_m$ 为长度为 $m$ 的所有序列前缀的集合。如果 $a_i<a_j$ 当且仅当 $b_i<b_j$ 对于所有 $1\le i,j\le m$ 时，$S_m$ 中的两个序列 $\{a_1,a_2,\dots ,a_m\}$ 和 $\{b_1,b_2,\dots ,b_m\}$ 被认为属于同一前缀族。

例如，在 $S_4$ 中，$\{6,3,10,5\}$ 与 $\{454,227,682,341\}$ 属于同一系列，但不是 $\{113,340,170,85\}$。
令 $f(m)$ 为 $S_m$ 中不同前缀族的数量。
为您提供 $f(5)=5$、$f(10)=55$、$f(20)=6771$。

查找 $f(90)$。