一名赌徒决定参加一次特殊的抽奖活动。在这种彩票中，赌徒玩一系列的一个或多个游戏。
每款游戏的游戏费用为 $m$ 英镑，初始彩池为 $1$ 英镑。赌徒掷一枚没有偏见的硬币。每次出现正面时，底池就会加倍，赌徒继续。当出现尾巴时，游戏结束，赌徒收集当前底池值。赌徒肯定会赢得至少 $1$ 英镑（底池的起始价值），但成本为 $m$ 英镑（初始费用）。

如果赌徒的财富低于 $m$ 英镑，游戏就会结束。 让 $p_m(s)$ 表示在给定初始财富 $s$ 和每场游戏成本 $m$ 的情况下，赌徒在本次彩票中永远不会用完钱的概率。
例如 $p_2(2)\approx 0.2522$、$p_2(5)\approx 0.6873$ 和 $p_6(10000)\approx 0.9952$（注意：$p_m(s)=0$ 对于 $s<m$）。

找到 $p_{15}({10}^9)$ 并将答案四舍五入到小数点后 $7$ 位，格式为 0.abcdefg。