鲍勃是一位纳米机器人制造商，他希望通过赠送一个由他的新型纳米机器人着色的球作为礼物来给客户留下深刻印象。

他的纳米机器人可以通过编程来精确选择和定位另一个机器人，并在激活后沿着最短的路径向该机器人移动，并在移动时在表面上绘制一条彩色线。放置在平面上的机器人将开始沿直线向选定的机器人移动。相反，当它们被放置在球上时，它们将开始沿着测地线作为最短的可能路径移动。然而，在这两种情况下，每当他们的目标移动时，他们都会立即调整方向到新的最短可能路径。所有机器人在同时激活后将以相同的速度移动，直到每个机器人到达目标。

现在，Bob 将 $n$ 机器人等距地放置在半径为 $0.999$ 的小圆上的球（半径为 $1$）上，并对每个机器人进行编程，使其朝着逆时针方向位于该小圆上的下一个纳米机器人移动。激活后，机器人会以一种螺旋状移动，直到它们最终在球上的一个点相遇。

使用三个机器人，Bob 发现每个机器人都会绘制一条长度为 $2.84$ 的线，从而得出所有三个机器人的总长度为 $8.52$，每次四舍五入到小数点后两位。彩色球看起来像这样：

为了炫耀一下他的礼物，Bob 决定使用足够多的机器人，以确保每个机器人绘制的线比 $1000$ 长。使用此数量的机器人绘制的所有线条的总长度是多少（四舍五入到小数点后两位）？