设 $r$ 为方程 $x^3=x^2+1$ 的实根。
每个正整数都可以写成 $r$ 的不同递增幂的总和。
如果我们要求项数是有限的并且任意两个指数之间的差为三或更多，则表示是唯一的。
例如，$3=r^{-10}+r^{-5}+r^{-1}+r^2$ 和 $10=r^{-10}+r^{-7}+r^6$。
有趣的是，该关系对于方程的复数根成立。

设 $w(n)$ 为 $n$ 的唯一表示形式中的项数。因此 $w(3)=4$ 和 $w(10)=3$。

更正式地说，对于所有正整数 $n$，我们有：
$n={\displaystyle \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{r}^k}$
在以下条件下：
对于所有 $k$，$b_k$ 都是 $0$ 或 $1$；
$b_k+b_{k+1}+b_{k+2}\le 1$ 对于所有 $k$；
$w(n)={\displaystyle \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{b}_k}$ 是有限的。

设 $S(m)={\displaystyle \sum _{j=1}^{m}w(j^2)}$。
您将获得 $S(10)=61$ 和 $S(1000)=19403$。

找到 $S(5000000)$。