三角形被两条直线切成四块，每条直线从一个顶点开始，到相对的边结束。这会形成三个较小的三角形和一个四边形。 如果原始三角形具有整数面积，则通常可以选择切割以使所有四个部分也具有整数面积。 例如，下图显示了以这种方式切割的 $55$ 区域的三角形。

将区域表示为 $a,b,c$ 和 $d$，在上例中，各个区域为 $a=22$、$b=8$、$c=11$ 和 $d=14$。 还可以切割 $55$ 区域的三角形，例如 $a=20$、$b=2$、$c=24$、$d=9$。

定义三角形切割四边形 $(a,b,c,d)$ 作为三角形的有效积分除法，其中 $a$ 是两个切割顶点之间的三角形面积，$d$ 是四边形的面积，$b$ 和 $c$ 是其他两个三角形的面积，限制为 $b\le c$。 上述两种解决方案是$(22,8,11,14)$和$(20,2,24,9)$。 这是总面积为 $55$ 的唯一两个可能的四元组。

将 $S(n)$ 定义为由 $a+b+c+d\le n$ 的所有有效四元组表示的未切割三角形的面积之和。
例如，$S(20)=259$。

查找 $S(10000)$。