克里斯托弗·罗宾和维尼熊非常喜欢 Poohsticks 游戏，因此他们发明了一种新版本，可以让他们玩更长时间，然后他们中的一个获胜，然后他们必须回家喝茶。游戏开始时与正常情况一样，两人同时在桥的上游一侧扔一根棍子。但是，当其中一根棍子出现在下游侧时，游戏并没有结束，而是他们将棍子从水中捞出来，然后再次将其放回上游侧。仅当其中一根棍子先于另一根棍子从桥下出现并且也"重叠"另一根棍子时游戏才会结束 - 也就是说，与另一根棍子相比，在桥下多走了一趟。

在玩这个游戏的某一天，一根棍子在桥下移动所需的时间在最短 30 秒到最长 60 秒之间变化。将一根棍子从水中捞出并在另一侧再次放入所需时间为 5 秒。桥下的水流有一个不寻常的特性，即棍子的行程时间始终是整数秒，并且在 30 到 60 秒（含）之间的任何可能时间出现的可能性相同。事实证明，在这种情况下，玩单场比赛的预期时间为 1036.15 秒（四舍五入到小数点后两位）。这个时间是从第一次掉落棍子的时间点到获胜的棍子从桥下出现并与另一根棍子重叠的时间点开始计算的。

流每天以不同的速率流动，但保持了这样的属性：以秒为单位的旅程时间均匀分布在从最小值 $n$ 到最大值 $m$（含）的整数中。令预期的游戏时间（以秒为单位）为 $E(m,n)$。因此 $E(60,30)=1036.15...$

设$S(k)=\sum _{m=2}^k\sum _{n=1}^{m-1}E(m,n)$。

例如 $S(5)=7722.82$ 四舍五入到小数点后 2 位。

求 $S(100)$ 并将你的答案四舍五入到小数点后两位。