考虑一个由 $n$ 玩家连续配对进行的游戏：第 $1$ 轮在玩家 $1$ 和 $2$ 之间进行，第 $2$ 轮在玩家 $2$ 和 $3$ 之间进行，依此类推，一直到 $n$ 轮，在玩家 $n$ 和 $1$ 之间进行。然后，$n+1$ 轮在玩家 $1$ 和 $2$ 之间进行，整个循环再次开始。

换句话说，在 $r$ 回合中，玩家 $((r-1)modn)+1$ 对阵玩家 $(rmodn)+1$。

在每一轮中，都会掷一枚公平的硬币来决定两名玩家中哪一位赢得该轮。如果任何给定玩家赢得 $r$ 和 $r+1$ 两轮，则该玩家赢得整个游戏。

设 $P_n(k)$ 为玩家 $k$ 在 $n$ 玩家游戏中获胜的概率，采用约简分数的形式。例如，$P_3(1)=12/49$ 和 $P_6(2)=368/1323$。

令 $M_n(k)$ 为 $P_n(k)$ 的简化分子和分母的乘积。例如，$M_3(1)=588$ 和 $M_6(2)=486864$。

查找 $M_{{10}^8+7}({10}^4+7)$ 的最后 $8$ 位数字。