当写成连分数时，所有平方根都是周期性的，并且可以写成以下形式：

$$\sqrt{N}=a_0+{\displaystyle \frac{1}{a_1+{\displaystyle \frac{1}{a_2+{\displaystyle \frac{1}{a_3+\dots }}}}}}$$

例如，让我们考虑 $\sqrt{23}:$

$$\sqrt{23}=4+\sqrt{23}-4=4+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{23}-4}}}}=4+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{\sqrt{23}-3}{7}}}}$$

如果我们继续，我们将得到以下扩展：

$$\sqrt{23}=4+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{3+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{8+\dots }}}}}}}}$$

该过程可概括如下：

$$\begin{array}{rl}{a}_0& =4,\frac{1}{\sqrt{23}-4}=\frac{\sqrt{23}+4}{7}=1+\frac{\sqrt{23}-3}{7}\\ a_1& =1,\frac{7}{\sqrt{23}-3}=\frac{7(\sqrt{23}+3)}{14}=3+\frac{\sqrt{23}-3}{2}\\ a_2& =3,\frac{2}{\sqrt{23}-3}=\frac{2(\sqrt{23}+3)}{14}=1+\frac{\sqrt{23}-4}{7}\\ a_3& =1,\frac{7}{\sqrt{23}-4}=\frac{7(\sqrt{23}+4)}{7}=8+\sqrt{23}-4\\ a_4& =8,\frac{1}{\sqrt{23}-4}=\frac{\sqrt{23}+4}{7}=1+\frac{\sqrt{23}-3}{7}\\ a_5& =1,\frac{7}{\sqrt{23}-3}=\frac{7(\sqrt{23}+3)}{14}=3+\frac{\sqrt{23}-3}{2}\\ a_6& =3,\frac{2}{\sqrt{23}-3}=\frac{2(\sqrt{23}+3)}{14}=1+\frac{\sqrt{23}-4}{7}\\ a_7& =1,\frac{7}{\sqrt{23}-4}=\frac{7(\sqrt{23}+4)}{7}=8+\sqrt{23}-4\end{array}$$

可以看出该序列是重复的。为了简洁起见，我们使用符号 $\sqrt{23}=[4;(1,3,1,8)]$ 来表示块 (1,3,1,8) 无限重复。

（无理）平方根的前十个连分数表示是：

$\sqrt{2}=[1;(2)]$，句点=$1$
$\sqrt{3}=[1;(1,2)]$，句点=$2$
$\sqrt{5}=[2;(4)]$，句点=$1$
$\sqrt{6}=[2;(2,4)]$，句点=$2$
$\sqrt{7}=[2;(1,1,1,4)]$，句点=$4$
$\sqrt{8}=[2;(1,4)]$，句点=$2$
$\sqrt{10}=[3;(6)]$，句点=$1$
$\sqrt{11}=[3;(3,6)]$，句点=$2$
$\sqrt{12}=[3;(2,6)]$，句点=$2$
$\sqrt{13}=[3;(1,1,1,1,6)]$，句点=$5$

正好有四个连分数，$N\le 13$，有一个奇数周期。

$N\le 10000$ 有多少个连分数有奇数句点？