$2$ 的平方根可以写成无限连分数。

$$\sqrt{2}=1+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+...}}}}}}}}$$

无限连分数可以写成$\sqrt{2}=[1;(2)]$, $(2)$ 表示 $2$ 无限重复。类似地，$\sqrt{23}=[4;(1,3,1,8)]$。

事实证明，平方根的连分数的部分值序列提供了最佳的有理近似值。让我们考虑 $\sqrt{2}$ 的收敛性。

$$\begin{array}{rlr}& 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}& ={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & 1+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}& ={\displaystyle \frac{7}{5}}\\ & 1+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}}& ={\displaystyle \frac{17}{12}}\\ & 1+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}}}}& ={\displaystyle \frac{41}{29}}\end{array}$$

因此$\sqrt{2}$的前十个收敛的序列是：

$$1,{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{7}{5}},{\displaystyle \frac{17}{12}},{\displaystyle \frac{41}{29}},{\displaystyle \frac{99}{70}},{\displaystyle \frac{239}{169}},{\displaystyle \frac{577}{408}},{\displaystyle \frac{1393}{985}},{\displaystyle \frac{3363}{2378}},...$$

最令人惊讶的是重要的数学常数，

$$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2k,1,...]$$

$e$ 收敛序列中的前十项是：

$$2,3,{\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{11}{4}},{\displaystyle \frac{19}{7}},{\displaystyle \frac{87}{32}},{\displaystyle \frac{106}{39}},{\displaystyle \frac{193}{71}},{\displaystyle \frac{1264}{465}},{\displaystyle \frac{1457}{536}},...$$

第 $10$ 次收敛的分子中的数字总和为 $1+4+5+7=17$。

求 $e$ 的连分数第 $100$^th 收敛点的分子中的数字和。