对于某些固定的$\rho \in [0,1]$，我们从$0$开始求和$s$，并重复应用一个过程：以$\rho$的概率，我们将$1$添加到$s$，否则我们将$2$添加到$s$。

当 $s$ 是完全平方数或 $s$ 超过 ${10}^{18}$ 时（以先发生者为准），该过程结束。例如，如果$s$经过$0,2,3,5,7,9$，则该过程在$s=9$处结束，并且跳过两个方块$1$和$4$。

令 $f(\rho )$ 为进程完成时跳过的预期完美平方数。

可以看出，$f(\rho )$ 的幂级数是 $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{\rho }^k$，以便选择合适（唯一）的系数 $a_k$。前几个系数是 $a_0=1$、$a_1=0$、$a_5=-18$、$a_{10}=45176$。

让$F(n)=\sum _{k=0}^n{a}_k$。您已获得 $F(10)=53964$ 和 $F(50)\equiv 842418857(\mathrm{mod}{10}^9)$。

找到 $F(1000)$，并以 ${10}^9$ 为模给出答案。