可以找到正整数 $A$ 和 $B$，这样给定任何三角数 $T_n$，则 $A{T}_n+B$ 始终是三角数。我们将 $F_3(N)$ 定义为所有可能的对 $(A,B)$ 与 $max(A,B)\le N$ 的 $(A+B)$ 之和。例如 $F_3(100)=184$。

多边形数是三角数的推广。带有参数 $k$ 的多边形数我们称为 $k$ 多边形数。第 $n$th $k$ 个目标数的公式为 $\frac{1}{2}n(n(k-2)+4-k)$，其中 $n\ge 1$。例如，当 $k=3$ 时，我们得到 $\frac{1}{2}n(n+1)$ 三角数的公式。

上述陈述适用于五边形、七边形以及实际上任何具有 $k$ 奇数的 $k$ 边形数。例如，当 $k=5$ 时，我们得到五边形数，我们可以找到正整数 $A$ 和 $B$，这样给定任何五边形数 $P_n$，那么 $A{P}_n+B$ 始终是五边形数。我们将 $F_5(N)$ 定义为所有可能的对 $(A,B)$ 与 $max(A,B)\le N$ 的 $(A+B)$ 之和。

类似地，我们将 $F_k(N)$ 定义为奇数 $k$。给定 $\sum _k{F}_k({10}^3)=14993$，其中总和为所有奇数 $k=3,5,7,\dots$。

找到 $\sum _k{F}_k({10}^{12})$，其中总和是所有奇数 $k=3,5,7,\dots$