对于 $0\le x<1$，定义 $d_i(x)$ 为 $x$ 的二进制表示形式的二进制小数点后的第 $i$ 位。
例如，$d_2(0.25)=1$，$d_i(0.25)=0$，$i\ne 2$。

设 $f(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d_i(x)}{i^2}}$。

设 $p(a)$ 为 $f(x)>a$ 的概率，假设 $x$ 在 $0$ 和 $1$ 之间均匀分布。

求$p(0.5)$。将您的答案四舍五入到小数点后 $8$ 位。