我们将 $n$ 个盘子堆成 $k$ 个非空堆，每堆的大小不同。将 $f(n,k)$ 定义为最小堆中可能的最大板数。例如，当 $n=10$ 且 $k=3$ 时，$2,3,5$ 堆是可以完成的最佳选择，因此 $f(10,3)=2$。不可能将 10 分成 5 个不同大小的非空堆，因此 $f(10,5)=0$。

将 $F(n)$ 定义为所有可能的堆大小 $k\ge 1$ 的 $f(n,k)$ 之和。例如 $F(100)=275$。

进一步定义$S(N)={\displaystyle \sum _{n=1}^{N}F(n)}$。您得到 $S(100)=12656$。

找到 $S({10}^{16})$，将答案模 $1000000007$。