考虑由起始值 $a_0$ 和递归定义的实数序列 $a_n$ ${\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{1}{a_n}}$ 对于任何 $n\ge 0$。

对于某些起始值 $a_0$，序列将是周期性的。例如，$a_0=\sqrt{\frac{1}{2}}$ 产生序列： $\sqrt{\frac{1}{2}},-\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt{\frac{1}{2}},\dots$

我们感兴趣的是这样一个周期序列的范围，即序列的最大值和最小值之间的差。例如，上述序列的范围为 $\sqrt{\frac{1}{2}}-(-\sqrt{\frac{1}{2}})=\sqrt{2}$。

设$S(P)$为所有周期不超过$P$的周期序列的范围之和。
例如，$S(2)=2\sqrt{2}\approx 2.8284$，是以 $a_0=\sqrt{\frac{1}{2}}$ 和 $a_0=-\sqrt{\frac{1}{2}}$ 开头的两个序列的范围之和。
您将获得 $S(3)\approx 14.6461$ 和 $S(5)\approx 124.1056$。

求 $S(25)$，四舍五入到 $4$ 小数位。