对于非负整数 $k$，正整数的三元组 $(p,q,r)$ 称为 $k$ 平移勾股数组 如果 $$p^2+q^2+k=r^2$$

$(p,q,r)$ 据说是原始的 $gcd(p,q,r)=1$。

令 $P_k(n)$ 为原始 $k$ 平移毕达哥拉斯三元组的数量，例如 $1\le p\le q\le r$ 和 $p+q+r\le n$。
例如，$P_0({10}^4)=703$和$P_{20}({10}^4)=1979$。

定义 $${\displaystyle S(m,n)=\sum _{k=0}^m{P}_k(n).}$$ 给您的是 $S(10,{10}^4)=10956$。

查找 $S({10}^2,{10}^8)$。