秘密圣诞老人是一个允许 $n$ 人互相赠送礼物的过程，这样每个人都会赠送一份礼物并收到一份礼物。一开始，$n$ 人中的每个人都将自己的名字写在一张纸条上，并将纸条放入帽子中。每个人从帽子中随机抽取一张纸条。如果纸条上有他们的名字，他们会从帽子中随机抽取另一张纸条，然后将带有他们名字的纸条放回帽子中。最后，每个人都为他们手中的纸条上的名字的人买了一份圣诞礼物。如果最后一个人画出自己的名字，这个过程就会失败。

在这个变体中，$n$ 人中的每人赠送和接收两份礼物。一开始，$n$ 人中的每个人都将自己的名字写在两张纸条上，并将纸条放入帽子中（帽子中将有 $2n$ 纸条）。和以前一样，每个人从帽子中随机取出一张不包含自己名字的纸条。然后同一个人重复这个过程，最终得到两张纸条，其中都不包含该人自己的名字。然后下一个人以同样的方式画两张纸条，以此类推。如果最后一个人至少收到一张写有自己名字的纸条，则该过程将会失败。

定义 $q(n)$ 为发生这种情况的概率。给出 $q(3)=0.3611111111$ 和 $q(5)=0.2476095994$ 均四舍五入到小数点后 10 位。

求 $q(100)$ 四舍五入到小数点后 10 位。