函数 $f$ 针对所有正整数定义如下：

$$\begin{array}{rl}f(1)& =1\\ f(2n)& =2f(n)\\ f(2n+1)& =2n+1+2f(n)+\frac{1}{n}f(n)\end{array}$$

可以证明$f(n)$对于$n$的所有值都是整数。

函数 $S(n)$ 定义为 $S(n)={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(i{)}^2}$。

例如，$S(10)=1530$ 和 $S({10}^2)=4798445$。

求$S({10}^{16})$。以 $1000000007$ 为模给出你的答案。