对于正整数 $n>1$，设 $p(n)$ 为除以 $n$ 的最小质数，设 $\alpha (n)$ 为其$p$-adic order，即 $p(n{)}^{\alpha (n)}$ 整除 $n$ 的最大整数。

对于正整数 $K$，通过以下方式定义函数 $f_K(n)$： $$f_K(n)=\frac{\alpha (n)-1}{(p(n){)}^K}.$$

还可以通过以下方式定义 $\overline{f_K}$： $$\overline{f_K}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}\sum _{n=2}^N{f}_K(n).$$

可以验证$\overline{f_1}\approx 0.282419756159$。

找到${\displaystyle \sum _{K=1}^{\mathrm{\infty }}\overline{f_K}}$。将您的答案四舍五入到小数点后 $12$ 位。