对于正实数 $a,b$，$a\times b$ 圆环是一个宽度为 $a$、高度为 $b$ 的矩形，并标识了左侧和右侧以及顶部和底部。换句话说，当在矩形上追踪路径时，到达边缘会导致"绕回"到相对边缘上的对应点。

圆环体的平铺是一种将其分割成边长为 1 的等边三角形的方法。例如，以下三个图分别说明了具有两个三角形的 $1\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ 圆环体、具有四个三角形的 $\sqrt{3}\times 1$ 圆环体和具有十四个三角形的近似 $2.8432\times 2.1322$ 圆环体：

如果可以通过连续移动所有三角形从另一个获得一个，从而在移动过程中的任何阶段都不会出现间隙且没有三角形重叠，则 $a\times b$ 环面的两个平铺被称为等效。例如，下面的动画显示了两个平铺之间的等效性：

设 $F(n)$ 为所有可能的具有 $n$ 三角形的圆环的非等效平铺总数。例如，$F(6)=8$，具有八个非等效平铺和六个三角形，如下所示：

让$G(N)=\sum _{n=1}^{N}F(n)$。您将获得 $G(6)=14$、$G(100)=8090$ 和 $G({10}^5)\equiv 645124048(\mathrm{mod}1000000007)$。

查找 $G({10}^9)$。以 $1000000007$ 为模给出答案。