下图显示了一个特殊四边形形状的台球桌。 四个角$A,B,C,D$分别为${120}^{\circ },{90}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$，长度$AB$和$AD$相等。

左图显示了一个无限小的台球的轨迹，从$A$点出发，在桌子边缘弹跳两次，最后回到$A$点。右图显示了另一个这样的轨迹，但这次弹跳了八次：

桌子没有摩擦力，所有弹跳都是完美的弹性碰撞。
请注意，任何角落都不应发生反弹，因为行为是不可预测的。

令 $B(N)$ 为球的可能轨迹数，从点 $A$ 出发，在边缘最多弹跳 $N$ 次，然后返回点 $A$。

例如，$B(10)=6$、$B(100)=478$、$B(1000)=45790$。

找到$B({10}^9)$。