考虑以下丢番图方程： $$15(x^2+y^2+z^2)=34(xy+yz+zx)$$ 其中 $x$、$y$ 和 $z$ 是正整数。

令 $S(N)$ 为该方程的所有解 $(x,y,z)$ 的总和，使得 $1\le x\le y\le z\le N$ 且 $gcd(x,y,z)=1$。

对于 $N={10}^2$，存在三个这样的解 - $(1,7,16),(8,9,39),(11,21,72)$。所以 $S({10}^2)=184$。

求$S({10}^9)$。