令 ${\mathbb{R}}^2$ 为实数对 $(x,y)$ 的集合。让 $\pi =3.14159\cdots$.

考虑从 ${\mathbb{R}}^2$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的函数 $f$，其定义为 $f(x,y)=(x^2-x-y^2,2xy-y+\pi )$，及其第 $n$ 个迭代复合 $f^{(n)}(x,y)=f(f(\cdots f(x,y)\cdots ))$。例如 $f^{(3)}(x,y)=f(f(f(x,y)))$。如果 $n$ 是满足 $f^{(n)}(x,y)=(x,y)$ 的最小正整数，则称一对 $(x,y)$ 具有周期 $n$。

设$P(n)$表示周期不超过$n$的所有点的$x$坐标之和。 有趣的是，$P(n)$ 始终是整数。例如，$P(1)=2$、$P(2)=2$、$P(3)=4$。

找到 $P({10}^7)$ 并以 $1020340567$ 为模给出答案。