手链是通过将至少三个编号的珠子连接成一个圆圈而制成的。每个珠子只能显示 $1$、$2$ 或 $p^k$ 或 $2p^k$ 形式的任何数字（对于奇质数 $p$）。

此外魔法手环必须满足以下两个条件：

• 没有两个珠子显示相同的数字
• 任意两个相邻珠子的数字的乘积的形式为 $x^2+1$

将魔法手镯的效力定义为其珠子上的数字之和。

示例是一个带有 5 颗珠子的魔法手链，其效力为 155。

设 $F(N)$ 为每个魔法手镯的效力之和，可以使用不超过 $N$ 的正整数形成，其中排列的旋转和反射被认为是等效的。您将获得 $F(20)=258$ 和 $F({10}^2)=538768$。

求 $F({10}^6)$。